克拉默规律例题详解克拉默规律是什么

克拉默规律例题详解■克拉默规律是什么

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克拉默规律例题详解克拉默规律是什么

文本导读：

1. 克拉默规律是什么
2. 用克拉默规律解下列方程组
3. 克拉默规律

克拉默规律是什么

克莱姆规律，又译克拉默规律（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。

1、当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有独一的解；

2、假设方程组无解或许有两个不同的解，那么方程组的系数行列式肯定等于零

3、克莱姆规律不只仅适用于实数域，它在任何域下面都可以成立。

关于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上十分低效；与具有多项式时间复杂度的消弭方法相比，其渐近的复杂度为O（n·n！）。即使关于2×2系统，克拉默的规则在数值上也是不动摇的。

它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数剖析导言》中宣布的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个规律，但他们的记法不如克莱姆。

1、克莱姆规律的重要实际价值：研讨了方程组的系数与方程组解的存在性与独一性关系;与其在计算方面的作用相比，克莱姆规律更具有严重的实际价值。

2、运用克莱姆规律判别具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:

（1）当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有独一的解；

（2）假设方程组无解或许有两个不同的解，那么方程组的系数行列式肯定等于零

（3）克莱姆规律不只仅适用于实数域，它在任何域下面都可以成立。

（1）当方程组的方程个数与未知数的个数不分歧时，或许当方程组系数的行列式等于零时，克莱姆规律失

（2）运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。

用克拉默规律解下列方程组

先求系数行列式，再求各未知数对应的行列式，相除失掉方程的解，进程如下图：

1、克莱姆规律，又译克拉默规律（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数剖析导言》中宣布的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个规律，但他们的记法不如克莱姆。

2、克拉默规律的重要实际价值：研讨了方程组的系数与方程组解的存在性与独一性关系；与其在计算方面的作用相比，克莱姆规律更具有严重的实际价值。

3、运用克拉默规律判别具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:

（1）当方程组的方程个数与未知数的个数不分歧时，或许当方程组系数的行列式等于零时，克莱姆规律失效。

克拉默规律

1、当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有独一的解。

2、假设方程组无解或许有两个不同的解，那么方程组的系数行列式肯定等于零。

克拉默规律（Kramer's rule）是一种直接用行列式解线性方程组的方法。把线性方程组记为矩阵乘法的方式。

其中AA为系数矩阵。当AA为N×NN×N的方阵且行列式|A|≠0|A|≠0时（即满秩矩阵），方程有独一解（见“线性方程组解的结构”）。该解可以用克拉默规律直接写出：

xi=|Ai||A|(i=1,…,N)(2)(2)xi=|Ai||A|(i=1,…,N)

其中AiAi是把AA的第ii列交流为bb而来。

令式 1中A=(21−13)A=(21−13)，b=(45)b=(45)，求解方程组。

解：|A|=7|A|=7，|A1|=∣∣∣4153∣∣∣=7|A1|=|4153|=7，|A2|=∣∣∣24−15∣∣∣=14|A2|=|24−15|=14。代入式 2得x=(12)x=(12)。

在数值计算时，克拉默规律解方程组效率较低，直接用高斯消元法求逆矩阵高斯消元法求逆矩阵会更快。

推论1）n元齐次线性方程组有独一零解的充要条件是系数行列式不等于零，系数矩阵可逆（矩阵可逆=矩阵非奇特=矩阵对应的行列式不为0=满秩=行列向量线性有关）；

2）n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零。

1）研讨了方程组的系数与方程组解的存在性与独一性关系；

2）与其在计算方面的做用相比，克莱姆规律更具有严重的实际价值。（通常没有计算价值，计算量较大，复杂渡过高）

2.运用克莱姆规律判别具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解：

1）当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有独一的解；

2）若是方程组无解或许有两个不一样的解，那么方程组的系数行列式一定等于零；

3）克莱姆规律不单单适用于实数域，它在任何域下面均可以成立。

1）当方程组的方程个数与未知数的个数不分歧时，或许当方程组系数的行列式等于零时，克莱姆规律失效；

2）运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。

1.当方程组没有解时，称为方程组不兼容或不分歧，当存在多个处置方案时，称为不确定性。关于线性方程，不确定的系统将具有无量多的解（假设它在有限域上），由于解可以用一个或多个可以取恣意值的参数来表示。

2.克拉默规则适用于系数行列式非零的状况。在2×2的状况下，假设系数行列式为零，则假设分子决议因子为非零，则系统不兼容，假设分子决议要素为零，则系统不兼容。

3.关于3×3或更高的系统，当系数行列式等于零时，独一可以说的是，假设任何分子决议要素是非零的，那么系统必需是不兼容的。但是，将一切决议要素置零都不意味着系统是不确定的。 3×3系统x+ y+ z= 1，x+ y+ z= 2，x+ y+ z= 3的一个复杂的例子，其中一切决议要素消逝（等于零）但系统依然不兼容。

克拉默规律适用于变量和方程数目相等的线性方程组。克莱姆规律是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，研讨了方程组的系数与方程组解的存在性与独一性关系；与其在计算方面的作用相比，克莱姆规律更具有严重的实际价值。

克拉默规律解方程组进程：先求系数行列式，再求各未知数对应的行列式，相除失掉方程的解。

运用克拉默规律判别具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:

（1）：当方程组的方程个数与未知数的个数不分歧时，或许当方程组系数的行列式等于零时，克莱姆规律失效。

（2）：运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。

克拉默规律发生时间：这项规律是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数剖析导言》中宣布的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个规律，但他们的记法不如克莱姆。关于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上十分低效；与具有多项式时间复杂度的消弭方法相比，其渐近的复杂度为O（n·n！）。即使关于2×2系统，克拉默的规则在数值上也是不动摇的。

作者引见：克莱姆（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 1704-1752）克莱姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书，1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自 1727年停止为期两年的游览访学。在巴塞尔与约翰．伯努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许少数学名家，回国后在与他们的临时通讯中，增强了数学家之间的联络，为数学宝库也留下少量有价值的文献。他终身未婚，专心治学，盛气凌人且德高望重，先后中选为伦敦皇家学会、柏林研讨院和法国、意大利等学会的成员。

作者成就：主要著作是《代数曲线的剖析引论》（1750），首先定义了正则、非正则、逾越曲线和在理曲线等概念，第一次正式引入坐标系的纵轴（Y轴），然后讨论曲线变换，并依据曲线方程的阶数将曲线停止分类。为了确定经过5个点的普通二次曲线的系数，运用了著名的“克莱姆规律”，即由线性方程组的系数确定方程组解的表达式。该规律于1729年由英国数学家马克劳林失掉，1748年宣布，但克莱姆的优越符号使之传达。

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