费拉里法求解一元四次方程费拉里解法

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年月日北京奥运会男篮决赛在五棵松体育馆举行由科比·布莱恩特领衔的美国队迎战由保罗·加索尔率领的西班牙队争夺金牌

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费拉里法求解一元四次方程费拉里解法

文本导读：

1. 费拉里解法
2. 一元四次方程求根公式的费拉里法
3. 一元四次方程怎样求根

费拉里解法

1、一元四次方程求根公式，是数学代数学基本公式，由意大利数学家费拉里初次提出证明。一元四次方程是未知数最高次数不超越四次的多项式方程，运用化四次为二次的方法，结合盛金公式求解。适用未知数最高次项的次数不大于四的多项式方程。其解法是受一元三次方程求解方法的启示而失掉的。除最后解法外，该方程是还有其他简便解法。

2、意大利数学家费拉里与一元四次方程的解法卡当在《重要的艺术》一书中发布了塔塔利亚发现的一元三次方程求根公式之后，塔塔利亚谴责卡当言而无信，提出要与卡当停止争辩与竞赛。这场争辩与竞赛在米兰市的教堂停止，代表卡当出场的是卡当的先生费拉里。费拉里(Ferrari L.,1522~1565)出身贫困，少年时代曾作为卡当的仆人。

3、卡当的数学研讨惹起了他对数学的热爱，当其数学才干被卡当发现后，卡当就收他作了先生。费拉里替代卡当与塔塔利亚争辩并竞赛时，风华正茂，他不只掌握了一元三次方程的解法，而且掌握了一元四次方程的解法，因此在争辩与竞赛中取得了成功，并由此当上了波伦亚大学的数学教授。

4、一元四次方程的求解方法，是受一元三次方程求解方法的启示而失掉的。一元三次方程是在停止了巧妙的换元之后，把效果归结成了一元二次方程从而得解的。于是，假设可以巧妙地把一元四次方程转化为一元三次方程或一元二次方程，就可以应用已知的公式求解了。

一元四次方程求根公式的费拉里法

1、费拉里的方法是这样的：方程两边同时除以最高次项的系数可得 x4+bx3+cx2+dx+e=0(1)移项可得 x4+bx3=-cx2-dx-e(2)两边同时加上(1/2bx)2，可将（2）式左边配成完全平方，方程成为(x2+1/2bx)2=(1/4b2-c)x2-dx-e(3)在（3）式两边同时加上(x2+1/2bx)y+1/4y2可得 [(x2+1/2bx)+1/2y]2=(1/4b2-c+y)x2+(1/2by-d)x+1/4y2-e(4)（4）式中的y是一个参数。当（4）式中的x为原方程的根时，不论y取什么值，（4）式都应成立。特别，假设所取的y值使（4）式左边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，则对（4）对两边同时开方可以失掉次数较低的方程。为了使（4）式左边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，只需使它的判别式变成0，即(1/2by-d)2-4(1/4b2-c+y)(1/4y2-e)=0(5)这是关于y的一元三次方程，可以经过塔塔利亚公式来求出y应取的实数值。把由（5）式求出的y值代入（4）式后，（4）式的两边都成为完全平方，两边开方，可以失掉两个关于x的一元二次方程。解这两个一元二次方程，就可以得出原方程的四个根。费拉里发现的上述解法的发明性及巧妙之处在于：第一次配方失掉（3）式后引进参数y，并再次配方把（3）式的左边配成含有参数y的完全平方，即失掉（4）式，再应用（5）式使（4）的左边也成为完全平方，从而把一个一元四次方程的求解效果化成了一个一元三次方程及两个一元二次方程的求解效果。

2、不幸的是，就象塔塔利亚发现的一元三次方程求根公式被误称为卡当公式一样，费拉里发现的一元四次方程求解方法也曾被误以为是波培拉发现的。

一元四次方程怎样求根

1、一元四次方程求根公式：ax4+bx3+cx2+dx+e=0（a≠0,a,b,c,d,e∈R）p=-（3b2-8ac）q=3b4+16a2c2-16ab2c+16a2bd-64a3er=-（b3-4abc+a2d）2。

2、一元四次方程适用未知数最高次项的次数不大于四的多项式方程。其解法是受一元三次方程求解方法的启示而失掉的。

3、费拉里替代卡当与塔塔利亚争辩并竞赛时，风华正茂，他不只掌握了一元三次方程的解法，而且掌握了一元四次方程的解法，因此在争辩与竞赛中取得了成功，并由此当上了波伦亚大学的数学教授。一元四次方程的求解方法，是受一元三次方程求解方法的启示而失掉的。

4、一元三次方程是在停止了巧妙的换元之后，把效果归结成了一元二次方程从而得解的。于是，假设可以巧妙地把一元四次方程转化为一元三次方程或一元二次方程，就可以应用已知的公式求解了。

5、(A,B,K三个字母足以表示恣意三个双数，依据韦达定理：方程四根之和为-b/a，所以当x1，x2，x3的代数式为原方程的三根时，那么x4方式的代数式必是方程的第四个根。)

6、将这四个代数式代入到韦达定理中可整理得：x1+ x2+ x3+ x4=-b/ax1x2+x1x3+ x1x4+ x 2 x3+ x2x4+ x3 x4=(1/8a2)(3b2-A2-B2-K2)=c/ax1x2x3+x1x2x4+ x1 x3 x4+ x2 x3 x4=(1/16a3)(-b3+bA2+bB2+Bk2+2ABK)=-d/a。

7、x1x2 x3 x4=(1/256a4)(b4+ A4+B4+K4-2b2A2-2b2B2-2b2K2-2A2B2-2A2K2-2B2K2-8bABK)=e/a。

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