一元四次方程费拉里解法？费拉里解法

一、费拉里解法

一元四次方程费拉里解法？费拉里解法

1、一元四次方程求根公式，是数学代数学基本公式，由意大利数学家费拉里初次提出证明。一元四次方程是未知数最高次数不超越四次的多项式方程，运用化四次为二次的方法，结合盛金公式求解。适用未知数最高次项的次数不大于四的多项式方程。其解法是受一元三次方程求解方法的启示而失掉的。除最后解法外，该方程是还有其他简便解法。

2、意大利数学家费拉里与一元四次方程的解法卡当在《重要的艺术》一书中发布了塔塔利亚发现的一元三次方程求根公式之后，塔塔利亚谴责卡当言而无信，提出要与卡当停止争辩与竞赛。这场争辩与竞赛在米兰市的教堂停止，代表卡当出场的是卡当的先生费拉里。费拉里(Ferrari L.,1522~1565)出身贫困，少年时代曾作为卡当的仆人。

3、卡当的数学研讨惹起了他对数学的热爱，当其数学才干被卡当发现后，卡当就收他作了先生。费拉里替代卡当与塔塔利亚争辩并竞赛时，风华正茂，他不只掌握了一元三次方程的解法，而且掌握了一元四次方程的解法，因此在争辩与竞赛中取得了成功，并由此当上了波伦亚大学的数学教授。

4、一元四次方程的求解方法，是受一元三次方程求解方法的启示而失掉的。一元三次方程是在停止了巧妙的换元之后，把效果归结成了一元二次方程从而得解的。于是，假设可以巧妙地把一元四次方程转化为一元三次方程或一元二次方程，就可以应用已知的公式求解了。

二、一元四次方程的各种解法

一元三次方程的求根公式用通常的归结思想是作不出来的，用相似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax3+bx2+cx+d+0的规范型一元三次方程方式化为x3+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归结思想失掉，即依据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的方式归结出一元三次方程的求根公式的方式。归结出来的形如 x3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的方式应该为x=A(1/3)+B(1/3)型，即为两个开立方之和。归结出了一元三次方程求根公式的方式，下一步的任务就是求出开立方外面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：

（1）将x=A(1/3)+B(1/3)两边同时立方可以失掉

（2）x3=(A+B)+3(AB)(1/3)(A(1/3)+B(1/3))

（3）由于x=A(1/3)+B(1/3)，所以（2）可化为

x3=(A+B)+3(AB)(1/3)x，移项可得

（4）x3－3(AB)(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x3+px+q=0作比拟，可知

（5）－3(AB）（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得

（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式效果，由于A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即

（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a

(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）3＝c/a

(10)由于型为ay2+by+c=0的一元二次方程求根公式为

y1＝－（b＋（b2－4ac）(1/2)）/(2a)

y2＝－（b－（b2－4ac）(1/2)）/(2a)

(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)2-(c/a))(1/2)

y2＝－(b/2a)+((b/2a)2-(c/a))(1/2)

将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）3＝c/a代入（11）可得

(12)A＝－(q/2)-((q/2)2＋（p/3）3）(1/2)

B＝－(q/2)+((q/2)2＋（p/3）3）(1/2)

(13)将A，B代入x=A(1/3)+B(1/3)得

(14)x=（－(q/2)-((q/2)2＋（p/3）3）(1/2)）(1/3)+（－(q/2)+((q/2)2＋（p/3）3）(1/2)）(1/3)

式(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只需求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。

塔塔利亚发现的一元三次方程的解法

假设作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消

假定方程的解x可以写成x=a-b的方式，这里a和b是待定的参数。

由二次方程实际可知，一定可以适中选取a和b，使得在x=a-b的同时，

这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。

费拉里发现的一元四次方程的解法

和三次方程中的做法一样，可以用一个坐标平移来消去四次方程

普通方式中的三次项。所以只需思索下面方式的一元四次方程：

关键在于要应用参数把等式的两边配成完全平方方式。思索一个参数

等式左边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即

这是一个关于a的三次方程，应用下面一元三次方程的解法，我们可以

解出参数a。这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于x

的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根x。

最后，关于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法(即经过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算)，这称为阿贝耳定理

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这3个网站都是一元四次方程的解法!

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