高数积分表 | 高数求积分

一、高数求积分

高数积分表 | 高数求积分

设函数u=u(x)及v=v(x)具有延续导数，那么，两个函数乘积的导数公式为

移相得 uv'=(uv)'-u'v

公式(1)称为分部积分公式。假设求∫uv'dx有困难，而求∫u'vdx比拟容易时，分部积分公式就可以发扬作用了。

为简便起见，也可以把公式(1)写成下面的方式

∫arccosxdx=xarccosx-∫xd(arccosx)

=xarccosx-1/2∫1/(1-x2)1/2d(1-x2)

总结1：在分部积分法运用比拟熟练以后，就不用再写出哪一局部选作u,哪一局部选作dv，只需把被积函数表达式凑成φ(x)dv(x)的方式，便可运用分部积分公式

解：首选降幂，由于sin2x=1/2(1-cos2x),所以

∫x2sin2xdx=1/2∫x2(1-cos2x)dx=1/6x3-1/4∫x2dsin(2x).

∫x2sin2xdx=1/6x3-1/4x2sin2x+1/2∫xsin2xdx=1/6x3-1/4x2sin2x-1/4∫xdcos2x

=1/6x3-1/4x2sin2x-1/4xcos2x+1/8sin2x+C

解：设u=x2,dv=exdx=d(ex),那么

∫x2exdx=∫x2d(ex)=x2ex-∫exd(x2)-2∫xexdx

这里∫xexdx比∫x2exdx容易积出，由于被积函数中x的幂次前者比后者降低了一次，所以，对∫xexdx再运用一次分部积分法就可以了，于是

∫x2exdx=x2ex-2∫xexdx=x2ex-2∫xd(ex)

总结2：下面2个列子可以知道，假设被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就可以思索运用分部积分法，并设幂函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次，直至求出答案，这里假定的幂指数是正整数。

解：∫xarctanxdx=1/2∫arctanxd(x2)

=x2/2arctanx-1/2∫x2/(1+x2)dx

=x2/2arctanx-1/2∫(1+x2-1)/(1+x2)dx

=x2/2arctanx-1/2∫[1-1/(1+x2)]dx

=x2/2arctanx-1/2(x-arctanx)+C

总结3：假设被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可以思索分部积分法，并设对数函数或反三角函数为u.

解：∫exsinxdx=∫sinxd(ex)=exsinx-∫excosxdx

等式右端的积分与等式左端的积分是同一类型的，对右端的积分再用一次分部积分法，得

∫exsinxdx=exsinx-∫cosxd(ex)

由于上式右端的第三项就是所求的积分∫exsinxdx,把它移到等号左端去，再两端同除以2，便得

∫exsinxdx=1/2ex(sinx-cosx)+C

因上式右端已不包括积分项，所以必需加上恣意常数C

分部积分法三大总结对应的题型，假设小同伴们不可以很好的了解，我们有下面这章表格，可以愈加有利于你们的了解

(1)首先要将它写成∫udv(或∫uv'dx)的方式。

(2)屡次运用分部积分法，每分部积分一次得以简化，直至最后求出。

(3)用分部积分法有时可导出∫f(x)dx的方程，然后解出。

(4)有时用分部积分法可导出递推公式

在大学高数学习不定积分用分部积分法时，普通状况下，掌握前3种即可，即使考试最后的压轴标题也逃不出这个范围，关于考研的学子(只对数一)用分部积分法导出递推公式需求你们自己去多做题，去了解即可。

二、高数里有哪几种积分

积分普通分为不定积分、定积分和微积分三种

设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的一切原函数F(x)+C（C为恣意常数）叫做函数f(x)的不定积分。

其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的进程叫做对这个函数停止积分。

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的一切的原函数，由原函数的性质可知，只需求出函数f(x)的一个原函数，再加上恣意的常数C，就失掉函数f(x)的不定积分。

也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数.

众所周知，微积分的两大局部是微分与积分。微分实践上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。所以，微分与积分互为逆运算。

实践上，积分还可以分为两局部。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x)，也就是说，把f(x)积分，不一定能失掉F(x)，由于F(x)+C的导数也是f(x)，C是无量无尽的常数，所以f(x)积分的结果有有数个，是不确定的，我们一概用F(x)+C替代，这就称为不定积分。

而相关于不定积分，就是定积分。

所谓定积分，其方式为∫f(x) dx(下限a写在∫下面，下限b写在∫下面)。之所以称其为定积分，是由于它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。

定积分的正式称号是黎曼积分，详见黎曼积分。用自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其联系成有数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所失掉的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实践上，定积分的上下限就是区间的两个端点a、b。

我们可以看到，定积分的实质是把图象有限细分，再累加起来，而积分的实质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联络，那么为什么定积分写成积分的方式呢？

定积分与积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的实际的支撑，使得它们有了实质的亲密关系。把一个图形有限细分再累加，这似乎是不能够的事情，但是由于这个实际，可以转化为计算积分。这个重要实际就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：

那么∫f(x) dx(下限a下限b)=F(a)-F(b)

牛顿-莱布尼兹公式用文字表述，就是说一个定积分式的值，就是下限在原函数的值与下限在原函数的值的差。

正由于这个实际，提醒了积分与黎曼积分实质的联络，可见其在微积分学以致更初等的数学上的重要位置，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。

积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在运用上，积分作用不只如此，它被少量运用于求和，深刻的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决议的。

一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。

一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。

积分 integral从不同的效果笼统出来的两个数学概念。定积分和不定积分的统称。不定积分是为处置求导和微分的逆运算而提出的。例如：已知定义在区间I上的函数f（x)，求一条曲线y＝F（x），x∈I，使得它在每一点的切线斜率为F′（x）＝ f（x）。函数f（x）的不定积分是f（x）的全体原函数（见原函数），记作。假设F(x)是f(x)的一个原函数，则，其中C为恣意常数。例如，定积分是以平面图形的面积效果引出的。y＝f（x）为定义在[a，b〕上的函数，为求由x＝a，x＝b，y＝0和y＝f（x）所围图形的面积S，采用古希腊人的穷竭法，先在小范围内以直代曲，求出S的近似值，再取极限失掉所求面积S，为此，先将[a，b〕分红n等分：a＝x0＜x1＜…＜xn＝b，取ζi∈[xi-1，xi〕，记Δxi＝xi－xi-1，，则pn为S的近似值，当n→＋∞时，pn的极限应可作为面积S。把这一类效果的思想方法笼统出来，便得定积分的概念：关于定义在[a，b〕上的函数y＝f（x），作分划a＝x0＜x1＜…＜xn＝b，若存在一个与分划及ζi∈[xi-1，xi〕的取法都有关的常数I，使得,其中则称I为f（x）在[a，b〕上的定积分，表为即称[a，b〕为积分区间，f（x）为被积函数，a，b区分称为积分的下限和下限。当f（x）的原函数存在时，定积分的计算可转化为求f（x）的不定积分：这是c牛顿莱布尼兹公式

设函数y= f(x)在x.的邻域内有定义，x0及x0+Δx在此区间内。假设函数的增量Δy= f(x0+Δx)− f(x0)可表示为Δy= AΔx+ o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx0)是比Δx高阶的无量小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy= AΔx。

通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx=Δx。于是函数y= f(x)的微分又可记作dy= f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。

当自变量X改动为X+△X时，相应地函数值由f(X)改动为f(X+△X)，假设存在一个与△X有关的常数A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差关于△X→0是高阶无量小量，则称A·△X是f(X)在X的微分，记为dy，并称f(X)在X可微。函数可导必可微，反之亦然，这时A=f′(X)。再记A·△X=dy，则dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。

设Δx是曲线y= f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无量小)，因此在点M左近，我们可以用切线段来近似替代曲线段。

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同理，当自变量为多个时，可得出多元微分得定义。

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