斯托克斯定理推导，纳维

一、纳维-斯托克斯方程为什么被称为数学史最复杂的公式

斯托克斯定理推导，纳维-斯托克斯方程为什么被称为数学史最复杂的公式

1、相比起黎曼猜想、费马大定理、哥德巴赫猜想等全球知名的难题，纳维-斯托克斯方程的存在感很低，即使在世界千禧年七大难题里，也很少会有人提及，最重要的缘由就是，这个难题真实是不太好了解，尤其关于普通人而言，甚至名列榜首的P/NP效果普通人都可以揣摩到一些，但就是很难了解纳维—斯托克斯方程，这也是为什么民科很少触及这个效果的缘由。

2、大家可以看看百度百科上对这个难题的描画：

3、坎坷的波浪跟随着我们的正在湖中弯曲穿越的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家坚信，无论是和风还是湍流，都可以经过了解纳维-斯托克斯方程的解，来对它们停止解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的了解依然极少。应战在于对数学实际作出实质性的停顿，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的微妙。

4、没头没尾，你甚至在这段话里都很难推测出这个难题终究描画的是什么效果，流显露一股玄学的效果，明天我们就来聊聊纳维-斯托克斯方程。

5、这个方程并不是一团体提出来的，1775年，著名数学家欧拉，对，没有错就是数学界四大天王欧拉，他如今又来掺和流体力学了，他在《流体运动的普通原理》一书中依据无粘性流体运动时流体所受的力和动质变化从而推导出了一组方程。

6、方程如下：(ax?D?+bxD+c）y=f(x）（只是其中一种方式，还有泛函极值条件的微分表达式等），这是属于无粘性流体动力学（理想流体力学）中最重要的基本方程，是指对无粘性流体微团运用牛顿第二定律失掉的运动微分方程，它描画理想流体的运动规律。奠定了理想流体力学基础。

7、粘性流体是指粘性效应不可疏忽的流体。自然界中的实践流体都是具有粘性，所以实践流体又称粘性流体，是指流体质点间可流层间因相对运动而发生摩擦力而对立相对运动的性质。

8、1821年，著名工程师纳维推行了欧拉的流体运动方程，思索了分子间的作用力，从而树立了流体平衡和运动的基本方程。方程中只含有一个粘性常数。

9、1845年斯托克斯从延续统的模型动身，改良了他的流体力学运动方程，失掉有两个粘性常数的粘性流体运动方程的直角坐标重量方式，这就是后世所说的纳维-斯托克斯方程。

10、纳维-斯托克斯方程有很多种表达方式

11、解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，首先，必需对流体作几个假定。第一个是流体是延续的。这强调它不包括构成外部的空隙，例如，溶解的气体气泡，而且它不包括雾状粒子的聚合。另一个必要的假定是一切触及到的场，全部是可微的，例如压强P，速度v，密度ρ，温度Q等等。该方程从质量，动量守恒，和能量守恒的基本原理导出。

12、对此，有时必需思索一个有限的恣意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易运用。该有限体积记为ω，而其外表记为?ω。该控制体积可以在空间中固定，也能够随着流体运动。

13、可以说纳维-斯托克斯方程是众多迷信家和工程师的推进下发生的，是一组描画像液体和空气这样的流体物质的方程。这些方程树立了流体的粒子动量的改动率（力）和作用在液体外部的压力的变化和耗散粘滞力（相似于摩擦力）以及引力之间的关系。这些粘滞力发生于分子的相互作用，能通知我们液体有多粘。这样，纳维-斯托克斯方程描画作用于液体恣意给定区域的力的静态平衡。

14、在流体力学中，有很多方程，但很多方程都和纳维尔-斯托克斯方程有着联络，纳维-斯托克斯方程可以说描画了流体范围的大局部条件，当然了，该方程也有其适用范围，该方程只适用于牛顿流体。

15、什么是牛顿流体呢？复杂说就是：任一点上的剪应力都同剪切变形速率呈线性函数关系的流体。普通高黏度的流体是不满足这种关系的，说明牛顿流体和非牛顿流体有个复杂的例子就是大家熟知的虹吸现象。在低黏度下，虹吸要停止下去，吸取口必需在页面以下，但非牛顿流体的高黏度流体下，吸取口哪怕高于液面，其虹吸依然可以停止，由于黏度太大了。

16、而关于工程运用来说，大局部状况还是处置牛顿流体，或许可以近似为牛顿流体。可以说，该方程在流体力学中起着基础性的作用，但也起着决议性的作用。

17、关于这组方程所触及的难题就是，如何用数学实际说明这组方程。对，甚至用数学实际说明用于描画奇特黑洞的爱因斯坦场方程都会比论述纳维-斯托克斯方程更复杂一些。

18、所以有关纳维-斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学效果被称为纳维-斯托克斯方程解的存在性与润滑性。

19、虽然纳维-斯托克斯方程可以描画空间中流体（液体或气体）的运动。纳维-斯托克斯方程式的解可以用到许多实践运用的范围中。比如可以运用到模拟天气，洋流，管道中的水流，星系中恒星的运动，翼型周围的气流。它们也可以用于飞行器和车辆的设计，血液循环的研讨，电站的设计，污染效应的剖析等等。

20、不过目前关于纳维－斯托克斯方程式解的实际研讨还是缺乏，尤其纳维－斯托克斯方程式的解常会包括紊流。

21、紊流又称湍流，是流体的一种活动形状。当流速很小时，流体分层活动，互不混合，称为层流，或称为片糖；逐渐添加流速，流体的流线末尾出现波状的摆动，摆动的频率及振幅随流速的添加而添加，此种流况称为过渡流；当流速添加到很大时，流线不再清楚可辨，流场中有许多小漩涡，称为湍流，又称为乱流、扰流或紊流。（飞机最怕遇见湍流）

22、虽然紊流在迷信及工程中十分的重要，但是紊流无序性、耗能性、分散性。至今仍是未处置的物理学效果之一。

23、另外，许多纳维－斯托克斯方程式解的基本性质也都尚未被证明。由于纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描画流体的运动。不同于代数方程，这些方程不寻求树立所研讨的变量（譬如速度和压力）的关系，而寻求树立这些量的变化率或通量之间的关系。用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。其中，最复杂状况的0粘滞度的理想流体的纳维-斯托克斯方程标明，减速度（速度的导数，或许说变化率）是和外部压力的导数成正比的。

24、这表示关于给定的物理效果，至少要用微积分才可以求得其纳维-斯托克斯方程的解。适用上，也只要最复杂的状况才干用这种方法取得已知解。这些状况通常触及波静态（流场不随时间变化）的非紊流，其中流体的粘滞系数很大或许其速度很小（低雷诺数）。

25、关于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气候系统或机翼的升力，纳维-斯托克斯方程的解必需借助计算机才干求得。这个迷信范围称为计算流体力学。

26、例如数学家就尚未证明在三维座标，特定的初始条件下，纳维－斯托克斯方程式能否有契合润滑性的解。也尚未证明若这样的解存在时，其动能有其上下界。

27、而千禧年关于纳维－斯托克斯方程的效果则更为困难，它给出的效果是：在三维的空间及时间下，给定一同始的速度场，存在一向量的速度场及纯量的压强场，为纳维－斯托克斯方程式的解，其中速度场及压强场需满足润滑及全局定义的特性。

28、留意，世界千禧年七大数学效果中每个数学效果的官方陈说除了P/NP效果之外，都是由此范围或许在此效果上做出过效果的菲尔兹奖得主停止撰写，确保可以精炼概括出效果，从而保证效果的严谨性，而P/NP效果由于触及到计算机方面，所以官方陈说是由图灵奖得主斯蒂芬·库克撰写，纳维-斯托克斯方程存在性与润滑性。查尔斯·费夫曼撰写的官方陈说

29、假设你没有方法了解，你可以复杂了解成，迷信家希望可以找出纳维－斯托克斯方程的通解，也就是说证明方程的解总是存在。换句话说，这组方程能否描画任何流体，在任何起始条件下，未来任一时间点的状况。

30、一组用数学实际说明都困难的方程组，你还需求去证明这个方程的解总是存在。这让许多迷信家为之解体。

31、目前来说，目前只要大约一百多个特解被解出来。而数学家让·勒雷在1934年时证明了所谓纳维-斯托克斯效果弱解的存在，此解在平均值上满足纳维-斯托克斯效果，但无法在每一点上满足。

32、而自此之后，关于纳维-斯托克斯效果的研讨就停滞不前，所以它也被称为最难的数学或物理公式，直到

33、 80年以后，陶哲轩在纳维-斯托克斯效果上宣布了文章《Finite time blowup for an averaged

34、three-dimensional Navier-Stokes

35、equation》，他的主要目的是将纳维－斯托克斯方程全局正则性效果的超临界形状屏障方式化。粗略地说，就是抽像地树立纳维－斯托克斯方程的全局正则性是不能够的。陶哲轩以为，置信笼统方法（基於能量等式的泛函剖析方法比如半群等）和地道的谐和剖析应该是不够用的，能够必需要用到NS方程的特殊几何比如vorticity，这篇文章就是结构了一个相似于NS方程、但不是原先的NS方程的一个反例。

36、他说，想象一下假设有人异常聪明，地道用水发明了一台机器，它并不由杆和齿轮而是由相互作用的水流构成。陶边说着边像魔术师般用手在空中比划出一个外形。想象一下这台机器可以copy出另一个更小速度更快的自己，接着这个更小速度更快的又copy出另一个，不时继续下去，直到在一个庞大的空间到达了有限的速度，从而引发了爆炸。陶笑着说到他并不是提议真的创立这样一台机器，这只是一个思想实验，就像爱因斯坦导出狭义相对论。但是，陶解释到，假设可以从数学上证明在准绳上没有什么可以阻止这个巧妙装置运转，那么这便意味着水实践上会爆炸。而且在这个进程中，他也会处置纳维－斯托克斯方程的存在性与润滑性的效果。

37、无论怎样样来说，在不时处置纳维－斯托克斯方程的进程中，有数新的数学工具数学方法随之降生，引领着数学不时行进开展。这就是这些难题猜想存在的意义。

二、高数:微积分中对斯托克斯公式的了解,纠结中。。。

正如你所说，斯托克斯公式只是说是曲线围成的曲面（重点在“只是”）

所以真相是只需是以这个曲线为边界的曲面就行（严厉说是“分片润滑的有向曲面”，并且契合右手定则）

这道题里就是对椭球面战争面积分都行

但是对平面的积分好算，所以答案便对平面积分

最后一点，教材上都会给出两种方式的斯托克斯公式

此题答案用的就是第一类曲面积分那种方式

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关于你补充的，我只想说假设你的话条理明晰一些，专业一些，我们是可以交流一下的，但你所说的话真实让我看不懂

1.什么叫“只要当一个空间曲面是被一个平面截取时，才可以对截得的平面局部停止积分”，是我说的吗？还是你编的？

2.你说“很多状况下，标题给出的是参数方式的曲线，也就是说，这一条闭合曲线无法位于一个空间平面上！”，这句话没错，但这不废话吗？我的回答是针对这道标题的，对这道题应该对平面积分。

4.我提到“第二类曲线积分”了？

5.在我看来第一类第二类曲面积分只是称号而已，交流时大家明白就好，况且其优劣并不是你所能妄加评论的

6.你的原回答，更是破绽百出，比如你说“自然就是对相应的空间曲面，也就是以“椭球面战争面的交线”为边界的椭球上的曲面的积分························从而将空间曲面积分变成一个二重积分”，你这“自然”是你自己一厢情愿吧，你错了，没什么自然，好美观看我的回答，而且什么叫“相应的空间曲面”？？？一条闭合的空间曲线可以围成有数个空间曲面你懂吗？？？通知我哪个是它“相应的空间曲面”？？？

7.还有你说“接着往下看，第二个等号后的dS，曾经换成了相应的坐标平面上的面积微元了！！！”一派胡言，这一步还是在对空间平面积分，并且这道题最后也没有化到坐标平面上去算你懂吗，人家最后用到了面积你懂吗？更谈不上你说什么“这个dS太不专业了咩~~~人家英文版教材，dS用来表示空间面积微元，坐标平面上的面积微元是用dσ来表示的”

8.不要看了几眼国外教材，然后在没学明白的状况下对“国际”妄加指摘！

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近代数学国际一定是要落后于国外的，不然那些定理规律不会全是以本国人的名字命名，但是既然是在这里的交流还是要用国际的方式，一楼的表达才干确需增强

法甲小说选集“1718法甲联赛第十五轮”

我确实没看过本国教材，经你一说以后无时机一定要研讨一下

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