scholes？【课程总结】对伊藤微分公式和Black

一、【课程总结】对伊藤微分公式和Black-Scholes公式的了解

scholes？【课程总结】对伊藤微分公式和Black-Scholes公式的了解

这篇文章其实是这两周学完Brown运动这一章后教员布置的课程论文，写的比拟数学，但是不太严谨。好多中央我没看懂的也就没写上去。主要是对定义和公式的了解，梳理了一下Black-Scholes方程的推导进程。主要参考了知乎大神石川的两篇文章（见文末）。

关于几何布朗运动的直观了解可以参看随机微分方程（SDE）的蒙特卡洛模拟（Python完成）和几何布朗运动数值解的模拟

定义：随机进程称为Brown运动，假设它满足如下三个条件：

1.规范Brown运动在时的形状为；

2.可以推出Brown运动是一个马尔科夫进程，恣意时辰之后的形状仅和时辰的形状有关，而与历史有关，另外还可以证明它是鞅进程和正态进程（即高斯进程）；

3.在任何有限时间区间内规范Brown运动的变化听从均值为0，方差为的正态散布，而且其方差会随着时间区间长度线性添加。

这能够是最好了解的性质：Brown运动是延续的，但它在任一点的导数有限的概率为0，i.e，对简直每条样本轨道上恣意一点，其导数不存在，也就是说固定，Brown运动不可导。进一步可以证明 Brown运动处处不可微（证明没啃洁白）。

对书上其他的性质了解不是很深，所以来说一下在别的中央看到的性质。

(1) Brown运动的轨迹会频繁的穿越时间轴，即在时间轴上下动摇，这一点其实就是书上对 Brown运动每个形状都常返（a是零常返）的证明

(2)在恣意时辰，它的位置不会偏离正负一个规范差（）太远

这个概念从别的中央看的，书上只讲了 Brown运动的二次变差进程，也就是

思索时间区间和该区间内的一个划分，则关于恣意一个延续函数，它的二次变分（quadratic variation）定义为：

关于一个延续且在上处处可微的函数，可以由中值定理得出

由此，对区间联系足够细时，，函数的二次变分为

把上述换成即可，Brown运动的二次变分：

即，对区间联系足够细时，，随机进程的二次变分为（区间长度），而不是0

关于 Brown运动，其非零的二次变分说明随机性使得它的动摇太频繁，以致于不论我们如何细分区间、失掉多么庞大的划分区间，这些庞大区间上的位移差的平方逐段累加起来的总和(二次变分的几何意义)都不会消逝（即二次变分不为0），而是等于这个区间的长度

综上，Brown运动的二次变分公式也可以写成，这是伊藤微分公式推导的关键。

如何了解这个式子呢？先将其写成增量的方式：

对比普通确实定性函数增量和微分的关系：

我们发现Brown运动的增量与成正比，与普通确实定性函数增量和微分的关系不同的是， Brown运动的增量和微分不再具有线性关系，也就标明在Brown的样本轨道的恣意一点左近不能“以直代曲”。这也构成了随机微分方程和确定性微分方程的实质区别。

若函数在点的某范围上有直到阶的延续偏导数，则对内任一点，存在相应的，使得

若只需求，则只需在内存在直到阶延续偏导数，便有

这个公式将协助我们导出伊藤微分公式

设实函数关于有二阶延续偏导数，关于有一阶延续偏导数，若是参数为的Brown运动，则

书上给出的证明条件是关于和都有二阶延续偏导数。

证明思绪是对停止泰勒展开，展到二阶，然后处置掉其中的无量小项。详细进程就不摆了，复杂的写一下思绪以及了解了的点吧。

前者显然是直观的微分方式，但由于Brown运动处处不可导，所以这样的微分是不可行的；

后者绕开了，但是这样也是错误的，这是由于 Brown运动的二次变分非零。当我们用泰勒展开写出它的前两项时，就明白为什么后者也是不可行了。

从第二项末尾都是的高阶无量小，所以可以略去，只留第一项，

而 Brown运动则不行，二阶偏导会出现，不再是高阶无量小，所以无法略去；

，，，第三个显然，第一个和第二个用到了前面的 2.3和 2.4。

令，推导随机进程满足的随机微分方程：

从这里也可以感遭到随机微分方程的解往往是先猜解后验证。

其中为常数，为规范Brown运动，满足上述微分方程的解称为几何Brown运动。

这里省略引见公式的经济学背景，从数学上看，公式其实就是在思索如何消弭。

这里被抵消掉了，也就是消去了瞬时收益率的风险项。

在不存在无风险套利的市场中，该投资组合的瞬时收益率必需等于无风险收益率，即

布朗运动、伊藤引理、BS公式（前篇）

布朗运动、伊藤引理、BS公式（后篇）

二、什么是Black-Scholes的期权定价模型

1、Black-Scholes期权定价模型是一种用于计算欧式期权价钱的数学模型，它是由费希尔·布莱克（Fisher Black）和米伦·斯科尔斯（Myron Scholes）在1973年开发的。这个模型是树立在对股票价钱的对数正态散布假定、无风险利率、标的资产的动摇率和期权到期时间等基本假定的基础之上的。

2、该模型的主要思想是经过计算一个期权的风险中性概率和现值，来推断该期权的价钱。详细来说，Black-Scholes模型将期权定价分解为五个基本要素：标的资产价钱、执行价钱、无风险利率、期权到期时间以及标的资产动摇率。模型经过处置随时间变化的期权价钱变化的偏微分方程，给出了期权的一个公式预算，称为 Black-Scholes公式。

3、Black-Scholes模型的优点在于可以提供对期权价钱变化的定量预测，并且在实际中普遍运用。但是，该模型的基本假定能够会在某些状况下不成立，例如当标的资产价钱出现大幅动摇、利率和动摇率发作变化时，该模型的预测就能够会存在误差。因此，在运用 Black-Scholes模型时，需求细心评价其基本假定的适用性，并结合实践市场状况停止修正和调整。

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