拉普拉斯定理行列式：拉普拉斯行列式公式

一、拉普拉斯行列式公式

拉普拉斯定理行列式：拉普拉斯行列式公式

行列式的展开公式是在线性代数的范围内，行列式的值代表由它的列向量张成的“平面”的“体积”。行列式按行展开的定理是拉普拉斯定理的一种复杂状况，该行各元素区分乘以相应代数余子式求和，就等于行列式的值。

假设行列式D的第i行各元素与第j行各元素的代数余子式对应相乘后再相加，则当i≠j时，其和为零，行列式依行或依列展开，不只对行列式计算有重要作用，且内行列式实际中也有重要的运用。

a23处在二行三列，从原行列式中划去它所在的行和列各元素，剩下的元素按原位陈列构成的新行列式，称为它的余子式。（是一个比原来行列式低一阶的行列式）

2、把行列式中某一行（列）的一切元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。

3、假设行列式的某行（列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。

4、假设行列式中有两行（列）相反，那么行列式为零。

5、假设行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。

6、把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。

7、对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。

二、拉普拉斯定理求行列式

拉普拉斯定理求行列式如下：其中恣意取定 k行（列），1≤ k≤ n-1，由这 k行（列）的元素所构成的一切 k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式 D的值。

1、拉普拉斯公式是关于行列式的展开式，也称为拉普拉斯展开或拉普拉斯定理。它可以用来计算行列式的值。

2、将一个nxn矩阵B的行列式停止拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的n个元素的（n-1）x（n-1）余子式的和。

3、拉普拉斯定理可以用来求行列式的值，其中恣意取定k行（列），1≤k≤n-1，由这k行（列）的元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式D的值。

1、计算降阶行列式的一种方法。该定理断言：在n阶行列式D=lail中，恣意取定k行（列），1sk≤n-1，由这k行（列）的元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式D的值。

拉普拉斯定理亦称按k行展开定理。拉普拉斯定理理想上是柯西（Cauchy,A.-L.）于1812年首先证明的。

1、应用拉普拉斯定理证明相关命题

定理3，设A,B是n阶方阵，则｜AB|=|A||B|，

定理4，A10000A200000000As=|A1||A2l….As|，其中Ai是ni阶方阵，i=1,2,...,S定理4由定理2易得。

（1）例1计算行列式D=a00b0cd00ef0g00h。解由于D的第一、四行中只要一个2阶子式不为零，因此，取这两行，然后依据拉普拉斯定理展开的D=abgh(-1)(1+4)+(1+4)cdef=acfh-adeh+bed g-bcgh。

（2）例2设A=34004-30000200022，求IA8｜及A4。解若记AA100A2，其中A1=344-3,A2=2022，则A成为一个分块对角矩阵。

（3）于是｜A8[=|A|8=(|A1]|A2|)8=|A1|8|A2|8=1016；A4=A4100A42。由于，A21=250025，所以A41=54E;A2=21041．代入即得A4=540000540000240002624。

标签：